Question

17．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2$，则四面体ABCD．体积的最大值为$\frac{7\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c²=2，则a²+b²+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．即可求出四面体体积的最大值．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，
∵a²+b²+c²=16，
∴a²+b²=14≥2ab，
∴ab≤7，
∴四面体ABCD体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc=$\frac{\sqrt{2}}{6}$ab≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面体ABCD体积的最大值$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{6}$

点评 本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．