Question

7．（1）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为60°，求|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若tanθ=3，求$\frac{{5{{sin}^3}θ+cosθ}}{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}θcosθ}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积的定义，根据|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$，求得它的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为60°，
所以$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{4{{\overrightarrow a}^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\sqrt{4×{2^2}-4×2×1×cos60°+{1^2}}=\sqrt{13}$．
（2）$\frac{{5{{sin}^3}θ+cosθ}}{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}θcosθ}}=\frac{{5{{sin}^3}θ+cosθ（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}{{2{{cos}^3}θ+{{sin}^2}θcosθ}}$=$\frac{{5sin}^{3}θ{+sin}^{2}θcosθ{+cos}^{3}θ}{{2cos}^{3}θ{+sin}^{2}θcosθ}$=$\frac{{5{{tan}^3}θ+{{tan}^2}θ+1}}{{2+{{tan}^2}θ}}$=$\frac{{5×{3^3}+{3^2}+1}}{{2+{3^2}}}=\frac{145}{11}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．