Question

20．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由bsinA+acosB=0及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0，化简即可得出．
（2）由余弦定理，可得$4={a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{3π}{4}$，再利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由bsinA+acosB=0及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0，
∴sinB+cosB=0，即tanB=-1，
又0＜B＜π，∴B=$\frac{3π}{4}$．
（2）由余弦定理，可得$4={a}^{2}+{c}^{2}-2accos\frac{3π}{4}$=${a}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{2}ac$≥2ac+$\sqrt{2}$ac，
∴ac≤$\frac{4}{2+\sqrt{2}}$=2（2-$\sqrt{2}$），当且仅当a=c时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB≤$\frac{1}{2}×2（2-\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
故△ABC面积的最大值为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．