Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x-a在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2．
（1）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）设$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x-a=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-a-1，利用函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x-a在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，求出a，即可求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）设$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求出sinα=$\frac{5}{13}$，cosα=$\frac{12}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，即可求sin（α-β）的值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x-a=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-a-1．
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取最大值2，即有2-a-1=2，得a=-1．
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
则当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）取最小值-$\sqrt{3}$，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\sqrt{3}$，2]；
（2）∵$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（{\frac{1}{2}α+\frac{π}{12}}）=\frac{10}{13}，f（{\frac{1}{2}β+\frac{π}{3}}）=\frac{6}{5}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，cosα=$\frac{12}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．