Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线B是过点P（-1，1），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A的极坐标方程是${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程；
（2）曲线A与曲线B相交于M，N两点，求|MP|+|NP|的值．

Answer 1

分析 （1）由曲线A的极坐标方程得到ρ²（3+sin²θ）=12，由此能求出曲线A的普通方程，由曲线B是过点P（-1，1），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线，能求出曲线B的一个参数方程．
（2）设|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中得，$\frac{7}{2}{t^2}+\sqrt{2}t-5=0$，由此利用韦达定理能求出|MP|+|NP|的值．

解答 解：（1）∵${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，
∴ρ²（3+sin²θ）=12，
即曲线A的普通方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
∵曲线B是过点P（-1，1），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线，
∴由题得，曲线B的一个参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（2）设|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，
把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，
得$3{（{-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+4{（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=12$，整理得，$\frac{7}{2}{t^2}+\sqrt{2}t-5=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{7}，{t_1}{t_2}=-\frac{10}{7}$，
∴$|{MP}|+|{NP}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．

点评 本题考查曲线参数方程的求法，考查线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．