Question

14．已知p：?x∈R，cos2x-sinx+2≤m；q：函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上单调递减，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，确定m的范围即可．

解答 解：由cos2x-sinx+2=-2${（sinx+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{25}{8}$，
当sinx=1时，cos2x-sinx+2取最小值0，
若P为真命题，则m≥0，
若q为真命题，则$\frac{m}{4}$≤2，m≤8，
由题意知，p，q中有且只有一个为真命题，
若p真q假，则m＞8；
若 p假q真，则m＜0
综上，实数m的取值范围为（-∞，0）∪（8，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查三角函数以及指数函数的性质，是一道中档题．