Question

9．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求锐二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PC⊥平面ABC，然后证明平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyz，求出相关点的坐标，设P（0，0，z₀）（z₀＞0），则M（0，1，z₀），直线AM与直线PC所成的解为60°，解得z₀=1．求出平面MAC的一个法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）因为PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B；
所以PC⊥平面ABC．           …（2分）
又因为PC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面ABC…（4分）
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作Cx⊥CB，
建立空间直角坐标系C-xyz（如图）…（5分）

由题意有C（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设P（0，0，z₀）（z₀＞0），则M（0，1，z₀），$\overrightarrow{AM}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，{z_0}）$，
$\overrightarrow{CP}$=（0，0，z₀）．  …（7分）
由直线AM与直线PC所成的解为60°得
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CP}$=|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{CP}$|cos60°，z₀²=$\sqrt{3+{{z}_{0}}^{2}}•{z}_{0}$$•\frac{1}{2}$，
解得z₀=1．   …（9分）
所以$\overrightarrow{CM}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{CA}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，0）$
设平面MAC的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CM}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CA}=0\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{z_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}-\frac{1}{2}{y_1}=0\end{array}\right.$．
取x₁=1，得$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．       …（10分）
平面ABC的法向量取为$\overrightarrow m=（0，0，1）$…（11分）
设$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$所成的角为θ，则$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
因为二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．     …（12分）

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．