Question

18．已知关于x的方程169x²-bx+60=0的两根为sinθ，cosθ，$θ∈（{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{3π}{4}}）$．
（1）求实数b的值；
（2）求$\frac{sinθ}{1-cosθ}+\frac{1+cosθ}{sinθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；
（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵169x²-bx+60=0的两根为sinθ、cosθ，
∴sinθ+cosθ=$\frac{b}{169}$，sinθcosθ=$\frac{60}{169}$＞0，
∵$θ∈（{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{3π}{4}}）$，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），即sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）＞0，
∴（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2×$\frac{60}{169}$=（$\frac{b}{169}$）²，
解得：b=±221（负值舍去），则b=221；
（2）∵（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2×$\frac{60}{169}$=$\frac{49}{169}$，
∴sinθ-cosθ=$\frac{7}{13}$，
∵sinθ+cosθ=$\frac{17}{13}$，
∴sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=$\frac{5}{13}$，
则原式=$\frac{si{n}^{2}θ+1-co{s}^{2}θ}{sinθ（1-cosθ）}$=$\frac{2sinθ}{1-cosθ}$=3．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．