Question

13．已知M={x|1＜x＜3}，N={x|x²-6x+8≤0}．
（1）设全集U=R，定义集合运算△，使M△N=M∩（∁_UN），求M△N和N△M；
（2）若H={x||x-a|≤2}，按（1）的运算定义求：（N△M）△H．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出M，N，结合题意计算即可；
（2）解不等式求出集合H，结合（1）中N△M，分类讨论，可得（N△M）△H．

解答 解：（1）M={x|1＜x＜3}，N={x|x²-6x+8≤0}={x|2≤x≤4}；
根据题意，U=R，∁_UN={x|x＜2或x＞4}，
∴M△N=M∩（∁_UN）={x|1＜x＜2}，
又∁_UM={x|x≤1或x≥3}，
∴N△M=N∩（∁_UM）={x|3≤x≤4}；
（2）∵H={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，
∴（N△M）△H=（N△M）∩（C_UH）=（1，2）∩[（-∞，a-2）∪（a+2，+∞）]，
当a-2≥2，或a+2≤1，即a≥4，或a≤-1时，（N△M）△H=（1，2）；
当1＜a-2＜2，即3＜a＜4时，（N△M）△H=（1，a-2）；
当1＜a+2＜2，即-1＜a＜0时，（N△M）△H=（a+2，2）；
当a-2≤1，且a+2≥2，即0≤a≤3时，（N△M）△H=∅．

点评 本题考查了集合的交集，并集，补集的定义与运算问题，是综合性题目．