Question

9．设函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）设g（x）=e^x•f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数），关于x的不等式g（x）＞ax+b对任意的实数x∈[1，3]及任意的示数b∈[2，4]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设两不相等的实数a，b满足：a³e^b=b³e^a，求证：a+b＞6．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（2）问题转化为a＜${（3x{-x}^{2}-\frac{4}{x}）}_{min}$，令h（x）=3x-x²-$\frac{4}{x}$，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）根据f（a）≤f（6-b）?f（b）≤f（6-b）?$\frac{{e}^{6-b}}{{e}^{b}}≤\frac{{（6-b）}^{3}}{{b}^{3}}$，令3-b=t（t＜0），得到（3-t）${e}^{\frac{2t}{3}}$-3-t≤0（*），令F（t）=（3-t）${e}^{\frac{2t}{3}}$-t-3（t＜0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}（3-x）}{{e}^{x}}$，令f′（x）=0，解得：x=3，
故f（x）在（-∞，3）递增，在（3，+∞）递减，
故x=3时，函数f（x）_极大值=f（3）=$\frac{27}{{e}^{3}}$，无极小值；
（2）∵g（x）=3x²-x³，
∴3x²-x³＞ax+b对任意的实数x∈[1，3]以及任意的实数b∈[2，4]恒成立，
∴3x²-x³-ax＞b对任意的实数b∈[2，4]恒成立，
对任意的实数x∈[1，3]恒成立，
∴a＜${（3x{-x}^{2}-\frac{4}{x}）}_{min}$，
令h（x）=3x-x²-$\frac{4}{x}$，h′（x）=3-2x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{3x}^{2}-{2x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，
令φ（x）=3x²-2x³+4，φ′（x）=6x-6x²=6x（1-x）＜0，
故φ（x）在（1，3）递减，∵φ（2）=0，
故h（x）在（1，2）递增，在（2，3）递减，
∵h（1）=-2，h（3）=-$\frac{4}{3}$，∴h（x）_min=-2，
故a＜-2；
（3）证明：由条件有f（a）=f（b），不妨设a＜b，
则由（1）可知a＜3＜b，由于6-b＜3，
从而f（a）≤f（6-b）?f（b）≤f（6-b）?$\frac{{e}^{6-b}}{{e}^{b}}≤\frac{{（6-b）}^{3}}{{b}^{3}}$，
令3-b=t（t＜0），则$\frac{{e}^{3+t}}{{e}^{3-t}}$≤${（\frac{3+t}{3-t}）}^{3}$，即${e}^{\frac{2t}{3}}$≤$\frac{3+t}{3-t}$?（3-t）${e}^{\frac{2t}{3}}$-3-t≤0（*），
令F（t）=（3-t）${e}^{\frac{2t}{3}}$-t-3（t＜0），则F′（t）=-$\frac{4}{9}$t${e}^{\frac{2t}{3}}$，
∵t＜0，故F′（t）＞0，
故F（t）在（-∞，0）递增，从而F（t）＜F（0）=0，
故F（t）在（-∞，0）递减，于是F（t）＞F（0）=0，
这与（*）矛盾，
从而假设不成立，故a+b＞6．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．