Question

20．下列命题中，假命题是 （　　）

• A． 若a，b∈R且a+b=1，则a•b≤$\frac{1}{4}$
• B． 若a，b∈R，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²≥ab恒成立
• C． $\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$ （x∈R） 的最小值是2$\sqrt{2}$
• D． x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀＜0

Answer 1

分析 A，ab=a（1-a）=-a²+a=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$；
B，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{2{a}^{2}+2{b}^{2}}{4}≥\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}=（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²≥$\frac{2ab+2ab}{4}=ab$，；
C $\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}≥2\sqrt{2}$，；
D，x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀符号不定；

解答 解：对于A，∵a+b=1，∴ab=a（1-a）=-a²+a=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，故正确；
对于B，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{2{a}^{2}+2{b}^{2}}{4}≥\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}=（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²≥$\frac{2ab+2ab}{4}=ab$，故正确；
对于C $\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}≥2\sqrt{2}$，故正确；
对于D，x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀＜0，错；
故选：D．

点评 本题考查了命题真假判定，属于中档题．