Question

12．已知函数f（x）=sinkxsin^kx+coskxcos^kx-cos^k2x，（其中k为常数，x∈R）
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当k=1时，求函数$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$在$（{0\;，\;\;\frac{π}{3}}]$上的最大值（其中常数a＞0）
（3）是否存在k∈N^*，使得函数f（x）为常函数，若存在，求出k的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）k=1时，函数f（x）=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x，再根据余弦函数图象求得
（2）由（1）得f（x）=1-cos2x，当x∈（0，$\frac{π}{3}$]时，f（x）∈（0，$\frac{3}{2}$]．令x=t，t$∈（0，\frac{3}{2}$]，$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$=$\frac{t}{a+{t}^{2}}=\frac{1}{t+\frac{a}{t}}$再根据函数h（t）=t+$\frac{a}{t}$ （a＞0）的单调性求解
（3）令x=0，f（x）=0，∴若函数f（x）为常函数，必是f（x）=0令x=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin$\frac{kπ}{2}$-（-1）^k=0，k∈Z⁺，k=4m-1  （m∈N⁺）．再验证k

解答 解：（1）k=1时，函数f（x）=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$k∈Z
即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z
（2）由（1）得f（x）=1-cos2x，当x∈（0，$\frac{π}{3}$]时，f（x）∈（0，$\frac{3}{2}$]．
令x=t，t$∈（0，\frac{3}{2}$]，$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$=$\frac{t}{a+{t}^{2}}=\frac{1}{t+\frac{a}{t}}$
函数h（t）=t+$\frac{a}{t}$ （a＞0）在t∈（0，$\sqrt{a}$）递减，在t∈（$\sqrt{a}$，+∞）递增，
∴当0＜t$＜\frac{9}{4}$时，函数g（x）的最大值为$\frac{\sqrt{a}}{2a}$，
当t$≥\frac{9}{4}$时，函数g（x）的最大值为$\frac{6}{4a+9}$．
（3）令x=0，f（x）=0，∴若函数f（x）为常函数，必是f（x）=0
令x=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin$\frac{kπ}{2}$-（-1）^k=0，k∈Z⁺，
k=4m-1  （m∈N⁺）．
经验证k=3符合题意．

点评 本题考查了三角函数的化简，三角函数的图象与性质，函数的单调性、存在性问题，属于难题．