Question

17．若$π＜θ＜\frac{3π}{2}$，则$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2θ}}-\sqrt{1-sinθ}$=$cos\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 利用二倍角余弦公式的变形进行转化去根号是解决本题的关键，即将被开方数进行升幂转化，结合角所在的象限进行开方化简．

解答 解：由于$π＜θ＜\frac{3π}{2}$，则$\frac{π}{2}＜\frac{θ}{2}＜\frac{3π}{4}$，
∴cosθ＜0，$sin\frac{θ}{2}＞0$，cos$\frac{θ}{2}$＜0，
则$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2θ}}-\sqrt{1-sinθ}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{co{s}^{2}θ}}-\sqrt{1-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1-cosθ}{2}}-\sqrt{（sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}）^{2}}$=$sin\frac{θ}{2}$-$|sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}|$
=sin$\frac{θ}{2}$$-sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=cos$\frac{θ}{2}$．
故答案为：$cos\frac{θ}{2}$．

点评 本题考查二倍角余弦公式的变形公式的运用，考查三角函数的基本关系式的应用，诱导公式带根号问题的处理方法，考查学生的转化与化归思想和方法，注意角所在象限对三角函数正负的影响，是中档题．