Question

7．已知SA、SB、SC两两所成的角为60°，则平面SAB与平面SAC所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 构造正四面体S-ABC，取SA中点O，连结BO，CO，则BO⊥SA，CO⊥SO，∠BOC是平面SAB与平面SAC所成二面角的平面角，由此能求出平面SAB与平面SAC所成二面角的余弦值．

解答 解：∵SA、SB、SC两两所成的角为60°，
∴构造正四面体S-ABC，
取SA中点O，连结BO，CO，
设该正四面体棱长为2，
则BO⊥SA，CO⊥SO，
∴∠BOC是平面SAB与平面SAC所成二面角的平面角，
BO=CO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，BC=2，
∴cos∠BOC=$\frac{B{O}^{2}+C{O}^{2}-B{C}^{2}}{2•BO•CO}$
=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴平面SAB与平面SAC所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角概念及其求法，化归与转化的思想的应用，考查逻辑推理、运算、空间想象能力，属中档题．