Question

19．已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，f（x）＞0的解集为（-3，2），
（1）求f（x）的解析式；
（2）x＞-1时，$y=\frac{f（x）-21}{x+1}$的最大值；
（3）若不等式ax²+kx-b＞0的解集为A，且（1，4）⊆A，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax²+（b-8）x-a-ab的两根分别为-3和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值，问题得以接解决，
（2）原函数转化为y=$\frac{-3{x}^{2}-3x-3}{x+1}$，再根据基本不等式即可求出最大值，
（3）由题可知，不等式ax²+kx-b＞0在x∈（1，4）上恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：（1）由题可知$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ f（-3）=0\\ f（2）=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=5\end{array}\right.$
则f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由（1）$y=\frac{f（x）-21}{x+1}$=$\frac{{-3{x^2}-3x-3}}{x+1}$
令t=x+1，x＞-1则t＞0，$y=-3（t+\frac{1}{t}-1）≤-3$
当且仅当$t=\frac{1}{t}$取等号，此时t=1，则x=0
则y最大值为-3；
（3）由题可知，不等式ax²+kx-b＞0在x∈（1，4）上恒成立，
即kx＜3x²+5在x∈（1，4）上恒成立
即$k＜3x+\frac{5}{x}在x∈（1，4）$上恒成立，
又$3x+\frac{5}{x}≥2\sqrt{3x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{15}$，当且仅当$3x=\frac{5}{x}，即x=\frac{{\sqrt{15}}}{3}∈（1，4）$时有最小值$2\sqrt{15}$
则$k＜2\sqrt{15}$

点评 本题给出二次函数，着重考查了一元二次不等式的应用、基本不等式的应用，一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．