Question

14．已知双曲线$\frac{y^2}{a}-\frac{x^2}{4}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线$\frac{y^2}{a}-\frac{x^2}{4}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，可得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{y^2}{a}-\frac{x^2}{4}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴c=$\frac{\sqrt{7}}{2}$b，
∴e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$是关键，属于基础题．