Question

6．已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过a的讨论判断导函数的符号，然后求解函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求出函数的极大值以及极小值，推出结果即可．

解答 （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
${f^/}（x）=2x-（a+2）+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（a+2）x+a}}{x}=\frac{{2（x-\frac{a}{2}）（x-1）}}{x}$，
①当0＜a＜2时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{a}{2}）$和（1，+∞），
②当a=2时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
③当a＞2时，f（x）的单调递增区间是（0，1）和$（\frac{a}{2}，+∞）$，
（Ⅱ）若a=4，由（1）得f（x）在（0，1）上单调递增，（1，2）上递减，（2，+∞）递增f（x）在x=1处取得极大值，f（1）=-5，
在x=2处取得极小值 f（2）=4ln2-8
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时，m的取值范围是（4ln2-8，-5）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．