Question

15．过抛物线C：y²=4x的焦点的直线交C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中A在第一象限．则|y₁-4y₂|的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根据抛物线的性质和定义，分焦点的直线的斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线AB：x=ky+1，根据韦达定理求出y₁y₂=-4，再利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
当斜率不存在时，直线AB：x=1，
则代入抛物线方程y²=4x，可得y=±2，则|y₁-4y₂|=|2+8|=10，
当斜率存在时，设直线AB：x=ky+1，
代入抛物线方程，可得y²-4ky-4=0
则y₁y₂=-4，
∴|y₁-4y₂|²=y₁²+（4y₂）²-8y₁y₂≥8|y₁y₂|-8y₁y₂=64，当且仅当y₁=4，y₂=-1取等号，
∴|y₁-4y₂|≥8，
综上所述|y₁-4y₂|的最小值为8，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和基本不等式，属于中档题．