Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＞0，若a₁=6，a₂=-2，对于n∈N^*，有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1
，则$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{5}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2017}}$=$\frac{1009}{2022}$．

Answer 1

分析 由题意有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1，可得$2\sqrt{{S}_{2n+2}}$=$\sqrt{{S}_{2n}}$+$\sqrt{{S}_{2n+4}}$，利用等差数列通项公式可得$\sqrt{{S}_{2n}}$，可得S_2n-1=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由题意有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1，
∴2S_2n+2=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2{n}_{+2}}}$+$\sqrt{{S}_{2n+2}{S}_{2n+4}}$，∴$2\sqrt{{S}_{2n+2}}$=$\sqrt{{S}_{2n}}$+$\sqrt{{S}_{2n+4}}$，
∴数列$\{\sqrt{{S}_{2n}}\}$为等差数列，首项为2，公差为1的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{2n}}$=2+（n-1）=n+1，可得S_2n=（1+n）²．∴S_2n-1=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$=（n+1）（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{2n-1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
则$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{5}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2017}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011}）$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{1011}$=$\frac{1009}{2022}$．
故答案为：$\frac{1009}{2022}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．