Question

13．设函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2），且y=f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值并求此时x的解集．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的对称轴方程和最值，求得ω的值；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2）
=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）-2（1+cos2ωx）+3
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由y=f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=3k+1，k∈Z，
由0＜ω＜2，可得ω=1；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值1-2=-1，此时x的解集为{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．