Question

2．已知抛物线C：y²=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若$3\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{FQ}$，则直线PQ的斜率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P₁、Q₁，由抛物线的|Q₁Q|=|QF|定义可知，|P₁P|=|FP|，设|PF|=k（k＞0），则|FQ|=3k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角然后求解斜率．

解答 解：过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P₁、Q₁，
由抛物线的|Q₁Q|=|QF|定义可知，|P₁P|=|FP|，
设|PF|=k（k＞0），$3\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{FQ}$，则|FQ|=3k，又过点P作PR⊥Q₁Q于点R，
则在直角△PRQ中，|RQ|=2k，|PQ|=4k，所以∠$RPQ=\frac{π}{6}$，
所以直线QP的倾斜角为$\frac{π}{6}$，
所以直线PQ的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．