Question

12．已知直线l₁与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，过M且与直线l₁垂直的直线l₂过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}$

Answer 1

分析 由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k=$\frac{c-b}{{y}_{M}}$=$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}{y}_{M}}$，化简得a²=bc，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（b，y_M），
由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k=$\frac{c-b}{{y}_{M}}$=$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}{y}_{M}}$，
化简得a²=bc，
即a⁴=（c²-a²）c²，有e⁴-e²-1=0，得e=$\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$．
故选B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．