Question

17．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．若对任意正整数n，都有λ＞$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$恒成立，则实数λ的取值范围为$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．a_n=$\sqrt{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}$=$\sqrt{（2n-1）{a}_{n}}$，解得a_n=2n-1.$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．
∴a_n=$\sqrt{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}$=$\sqrt{（2n-1）{a}_{n}}$，解得a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$．
∵对任意正整数n，都有λ＞$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$恒成立，∴$λ≥\frac{1}{2}$．
则实数λ的取值范围为$λ≥\frac{1}{2}$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了“裂项求和法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．