Question

9．一次测试中，每位考生要在8道测试题中随机抽出3道题问答，答对其中两道题即为合格．甲、乙、丙三人分别参加测试，每个人参加测试都是相互独立的，且三人都恰好会答8道题中的3道题．
（1）求甲考生在一次测试中合格的概率；
（2）求三个人中恰有一人合格的概率；
（3）记X表示三个人参加测试获得合格的冉姝，写出X的分布列并求数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算甲考生在一次测试中合格的概率值；
（2）计算每个人参加测试合格的概率值，由独立重复实验的概率计算公式求出三个人中恰有一人合格的概率；
（3）由X～B（3，$\frac{2}{7}$）求出X的分布列与数学期望值．

解答 解：（1）设事件A：“甲考生在一次测试中合格”，
则P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{5}^{1}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{2}{7}$，
即甲考生在一次测试中合格的概率为$\frac{2}{7}$；
（2）设事件B：“三个人中恰有一人合格”，
每个人参加测试合格的概率为$\frac{2}{7}$，
且都是相互独立的；
所以P（B）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{2}{7}$•${（\frac{5}{7}）}^{2}$=$\frac{150}{343}$；
即三个人中恰有一人合格的概率为$\frac{150}{343}$；
（3）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3；
且X～B（3，$\frac{2}{7}$）；
所以P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（1-\frac{2}{7}）}^{3}$=$\frac{125}{343}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{2}{7}$×${（1-\frac{2}{7}）}^{2}$=$\frac{150}{343}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{7}）}^{2}$×（1-$\frac{2}{7}$）=$\frac{60}{343}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{2}{7}）}^{3}$=$\frac{8}{343}$；
写出X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{343}$	$\frac{150}{343}$	$\frac{60}{343}$	$\frac{8}{343}$

所以X的数学期望为E（X）=0×$\frac{125}{343}$+1×$\frac{150}{343}$+2×$\frac{60}{343}$+3×$\frac{8}{343}$=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是基础题目．