Question

19．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥2a²-13，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，不等式即|2x-3|+3≤6，可得-3≤2x-3≤3，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得|2x-a|+a+|2x-1|≥2a²-13恒成立，利用绝对值三角不等式求得|2x-a|+a+|2x-1|的最小值为|1-a|+a，可得|1-a|+a≥2a²-13，分类讨论，去掉绝对值，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）≤6，即|2x-3|+3≤6，
故有-3≤2x-3≤3，求得 0≤x≤3，即不等式f（x）≤6的解集为[0，3]． 
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥2a²-13，即|2x-a|+a+|2x-1|≥2a²-13恒成立，
∵|2x-a|+a+|2x-1|≥|2x-a-（2x-1）|+a=|1-a|+a，
∴|1-a|+a≥2a²-13①．
当a≤1时，①等价于1-a+a≥2a²-13，解得-$\sqrt{7}$≤a≤1；
当a＞1时，①等价于a-1+a≥2a²-13，即a²-a-6≤0，解得1＜a≤3，
所以a的取值范围是[-$\sqrt{7}$，3]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．