Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，S_n-4S_n-1-2=0（n≥2，n∈Z）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{k}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n≥3时，可得S_n-4S_n-1-2-（S_n-1-4S_n-2-2）=0（n≥2，n∈Z）．∴a_n=4a_n-1，
又因为a₁=2，代入表达式可得a₂=8，满足上式．
所以数列{a_n}是首项为a₁=2，公比为4的等比数列，故：a_n=2×4^n-1=2^2n-1．
（Ⅱ）证明：b_n=log₂a_n=2n-1．
T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
n≥2时，$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{k}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．