Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}$=1上的一点，从原点O向圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点．
（1）若R点在第一象限，且直线OP、OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁，k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，列出方程求出圆R的圆心坐标，即可求解圆的方程．
（2）直线OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都与圆R相切，推出k₁，k₂是方程$（{x_0^2-8}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的两个不相等的实数根，由韦达定理得，${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，通过点R（x₀，y₀）在椭圆C上，代入化简求解即可．

解答 解：（1）由圆R的方程知圆R的半径$r=2\sqrt{2}$，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以$|{OR}|=\sqrt{2}r=4$，即$x_0^2+y_0^2=16$①
又点R在椭圆C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$②
联立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2\sqrt{2}\\{y_0}=2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以所求圆R的方程为：${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{（{y-2\sqrt{2}}）^2}=8$．
（2）因为直线OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都与圆R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2\sqrt{2}$，$\frac{{|{{k_2}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_2^2}}}=2\sqrt{2}$，
化简得$（{x_0^2+8}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$，$（{x_0^2+8}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$，
所以k₁，k₂是方程$（{x_0^2-8}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的两个不相等的实数根，由韦达定理得，${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
因为点R（x₀，y₀）在椭圆C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，
即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．