Question

13．已知函数$f（x）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-\sqrt{3}cos2x$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若关于x的方程f（x）=a在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上时有两个相异实数解，求这两实数解的和；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先化简函数，再由正弦函数的性质可求出函数f（x）的单调递减区间；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即可求这两实数解的和；
（3）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-\sqrt{3}cos2x$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{5}{12}$π≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
∴函数f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{5}{12}$π，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∵关于x的方程f（x）=a在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上时有两个相异实数解，
∴两根关于2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$对称，
∴这两实数解的和为$\frac{5}{6}$π；
（3）由条件可知m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
又当$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上时，f（x）_max=3，f（x）_min=2
∴1＜m＜4，即：m的取值范围是（1，4）．

点评 本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题．