Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+a．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．
（2）函数f（x）=x²-2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．
（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1．
（2）函数f（x）=x²-2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1．
（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，
当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）_max=1-a．
当a＞0时，x=-1时，函数取得最大值为：f（x）_max=1+3a．
当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）_max=1．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．