Question

20．已知椭圆C的两焦点分别为${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}），{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，长轴长6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由c=2$\sqrt{2}$，a=3，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得线段AB的长度．

解答 解：（1）由为${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}），{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，
焦点在x轴上，设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，
长轴长为6，2a=6，a=3，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$①，∵AB的方程为y=x+2，②
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化简并整理得10x²+36x+27=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，x₁x₂=$\frac{27}{10}$，
又丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{18}{5}）^{2}-4×\frac{27}{10}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
线段AB的长度$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．