Question

11．在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=6，$BC=2\sqrt{3}$，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．若∠DPR=∠CPR，则三棱锥P-ABC体积的最大值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 推导出AC=4$\sqrt{3}$，△BOC是正三角形，从而∠BCR=30°，CR=3，CD=4，进而DR=1，PR是∠DPC的平分线，$\frac{DP}{PC}=\frac{DR}{RC}=\frac{1}{3}$，由此能求出三棱锥P-ABC体积的最大值．

解答 解：∵AB⊥BC，AB=6，$BC=2\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{36+12}$=4$\sqrt{3}$，
∴$∠BCA=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，∴∠BCA=60°，
∵O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∴△BOC是正三角形，
∵过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．∠DPR=∠CPR，
∴∠BCR=30°，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=3$，CD=$\frac{2BC}{\sqrt{3}}$=4，∴DR=1，
∵∠DPR=∠CPR，∴PR是∠DPC的平分线，
∴$\frac{DP}{PC}=\frac{DR}{RC}=\frac{1}{3}$，
以D为原点，建立平面直角坐标系，如图，
设P（x，y），则$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理，得（x+$\frac{1}{2}$）+y²=$\frac{9}{4}$，
∴${y}_{max}=\frac{3}{2}$，
∴三棱锥P-ABC体积的最大值为：
V_max=$\frac{1}{3}×{y}_{max}×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×6×2\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间思维能力，是中档题．