Question

1．（1）求证：4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9是20的倍数（n∈N₊）；
（2）今天是星期一，再过3¹⁰⁰天是星期几？

Answer 1

分析 （1）把4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4•（5+1）ⁿ+5•（4+1）ⁿ-9按照二项式定理展开，提取公因式，可得结论成立．
（2）利用二项式定理把 3¹⁰⁰=（7+2）⁵⁰按照二项式定理展开，化简为7M_n+2⁵⁰（M_n∈N₊），再把2⁵⁰ =4（1+7）¹⁶按照二项式定理展开，可得3¹⁰⁰被7除余数，从而得出结论．

解答 （1）证明：∵4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4•（5+1）ⁿ+5•（4+1）ⁿ-9
=4（C_n⁰5ⁿ+C_n¹5^n-1+…+C_n^n-15+1）+5（C_n⁰4ⁿ+C_n¹4^n-1+…+C_n^n-14+1）-9
=20[（C_n⁰5^n-1+C_n¹5^n-2+…+C_n^n-1）+（C_n⁰4^n-1+C_n¹4^n-2+…+C_n^n-1）]，
故结论成立．
（2）解：设7M_n表示7和一个正整数的乘积，
∵3¹⁰⁰=9⁵⁰=（7+2）⁵⁰=C₅₀⁰•7⁵⁰•2⁰+C₅₀¹•7⁴⁹•2¹+…+C₅₀⁴⁹•7•2⁴⁹+C₅₀⁵⁰•7⁰•2⁵⁰
=7M_n+2⁵⁰（M_n∈N₊），
又2⁵⁰=2^3×16+2=4×8¹⁶=4（1+7）¹⁶=4（C₁₆⁰+7C₁₆¹+7²C₁₆²+…+7¹⁶C₁₆¹⁶）=4+7N_n（N_n∈N₊），
∴3¹⁰⁰被7除余数是4，故再过3¹⁰⁰天是星期五．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．