Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点（1，-2），经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q（-1，0），若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|-|BF|=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出抛物线的方程，设直线l的倾斜角为α，|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$．利用以QF为直径的圆经过点B，得出cosα=1-cos²α，即可得出结论．

解答 解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）过点（1，-2），
∴4=2p，∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x．
设直线l的倾斜角为α，则|AF|=|AF|cosα+|QF|=|AF|cosα+2，
∴|AF|=$\frac{2}{1-cosα}$．
同理|BF|=$\frac{2}{1+cosα}$，
∴|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$．
∵以QF为直径的圆经过点B，
∴BQ⊥BF，
∴|BF|=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，即cosα=1-cos²α，
∴|AF|-|BF|=$\frac{2}{1-cosα}$-$\frac{2}{1+cosα}$=$\frac{4cosα}{1-co{s}^{2}α}$=4
故选D．

点评 本题考查抛物线方程与性质，考查圆的运用，属于中档题．