Question

12．设$\overrightarrow{a}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-y）满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，y=f（x）
（1）求函数f（x）的最值；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（$\frac{A}{2}$），当a=2时，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式，化简可得f（x），再由正弦函数的最值，即可得到所求最值；
（2）运用正弦定理，可得b，c，再由三角函数的和差公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-y）满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即有（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx）cosx-y=0，
则y=f（x）=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx）cosx=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
则当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1；
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-1；
则函数f（x）的最小值为-1，最大值为3；
（2）当a=2，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，得：
b=2RsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=2RsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
则b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B））=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=4sin（B+$\frac{π}{6}$），
又B∈（0，$\frac{2π}{3}$），得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
可得sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，即4sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（2，4]．
则b+c∈（2，4]．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查解三角形的正弦定理和辅助角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．