Question

7．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$，下列结论中错误的是（　　）

• A． 当a=2时，x=1是f（x）的一个极值点
• B． 当-2＜a＜2时，函数f（x）无极值
• C． 当a＞2时，f（x）的极小值小于0
• D． ?a∈R，f（x）必有零点

Answer 1

分析 根据函数的单调性以及a的范围分别对各个选项进行判断即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，f（x）递增，无极值点，
故A错误；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-a≥2-a，
故-2＜a＜2时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，函数无极值，
故B正确；
（3）a＞2时，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4＞0，
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞0，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）递增，在（ $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）递减，在（ $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）递增；
故f（x）的极小值是f（ $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）=ln $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$+$\frac{1}{2}$＜lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
令h（a）=lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，（a＞2），h′（a）=$\frac{1}{a}$-a＜0，
故h（a）在（2，+∞）递减，h（a）＜h（2）=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
故a＞2时，f（x）的极小值小于0，
故C正确；
（4）x→0时，f（x）→-∞，
x→+∞时，f（x）→+∞，
显然f（x）有零点，
故D正确；
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．