Question

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线y²=-8x的焦点是椭圆Ω的一个顶点．
（1）求椭圆Ω的标准方程；
（2）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆Ω相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且3x₁x₂+4y₁y₂=0，证明：△AOB的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求出抛物线焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A、B的横坐标的和与积，结合已知可得m与k的关系，求出弦长，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式即可证得△AOB的面积为定值．

解答 （1）解：抛物线y²=-8x的焦点为（-2，0），故a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，故c=1，$b=\sqrt{3}$．
∴椭圆Ω的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0．
∵△=（8mk）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，
∴3+4k²-m²＞0，∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8mk}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．
由3x₁x₂+4y₁y₂=0，得$3•\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}+4•\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=0$，
∴2m²=3+4k²．
∵$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（3+4{k^2}-{m^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（2{m^2}-{m^2}）}}{{{{（2{m^2}）}^2}}}}=\sqrt{（1+{k^2}）}•\sqrt{\frac{12}{m^2}}$，
又点O到直AB线的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{m^2}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}•\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{12}{m^2}}•\frac{{\sqrt{m^2}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，是中档题．