Question

8．（文科）等差数列{a_n}的首项a₁=3，a₅=11，b_n=a_n-12
（1）求a_n和{ b_n}的前n项和S_n；
（2）若T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n；
（3）设c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的求和公式可得数列{ b_n}的前n项和S_n．
（2）令b_n=2n-11≤0，解得n≤5．n≤5时，T_n=-b₁-…-b_n=-S_n．n≥6时，T_n=-b₁-…-b₅+b₆+…+b_n=-2S₅+S_n．
（3）c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的首项a₁=3，a₅=11，设公差为d，则3+4d=11，解得d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
b_n=a_n-12=2n-11．
数列{ b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-9+2n-11）}{2}$=n²-10n．
（2）令b_n=2n-11≤0，解得n≤5．
∴n≤5时，T_n=-b₁-…-b_n=-S_n=-n²+10n．
n≥6时，T_n=-b₁-…-b₅+b₆+…+b_n=-2S₅+S_n=n²-10n-2×（25-50）=n²-10n+50．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．
（3）c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
数列{c_n}的前n项和R_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{2n+3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．