Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推导出AA₁⊥AC，由平面ABC⊥平面AA₁C₁C，能证明AA₁⊥平面ABC．
（II）取A为坐标原点，分别以$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AA1}$为x，y，z轴方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

解答 证明：（I）∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
∴AA₁⊥平面ABC．
解：（II）由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC．
取A为坐标原点，分别以$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AA1}$为x，y，z轴方向，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（4，-3，4），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-3，4），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，4）．
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面B₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=4x-3y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-3y+4z=0}\end{array}\right.$，令y=4，得$\overrightarrow{n}$=（0，4，3）．
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=4a-3b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=4c=0}\end{array}\right.$，令c=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，4，0）．
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{16}{\sqrt{25}•\sqrt{25}}$=$\frac{16}{25}$，
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为$\frac{16}{25}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定、性质得灵活应用，考查二面角概念及其求法，化归与转化的思想的应用，考查逻辑推理、运算、空间想象能力．属中档题．