Question

5．∠AOB如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且$B（\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}）$，点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则$cos（\frac{5π}{6}-α）$=（　　）

• A． $-\frac{4}{5}$
• B． $-\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 方法一：由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos（$\frac{5π}{6}$-α）得答案．
方法二：根据角的变化得到∠AOB=a-$\frac{π}{3}$，根据诱导公式即可求出答案．

解答 解：方法一：如图，由B（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），得OB=OC=1，又BC=1，
∴∠BOC=$\frac{π}{3}$，由三角函数的定义，得sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，cos∠AOB=$\frac{3}{5}$．
∴sinα=sin（$\frac{π}{3}$-∠AOB）=sin$\frac{π}{3}$cos∠AOB-cos$\frac{π}{3}$sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，
同理cosα=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
∴cos（$\frac{5π}{6}$-α）=cos$\frac{5π}{6}$cosα+sin$\frac{5π}{6}$sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$=-$\frac{4}{5}$，
方法二：∵∠AOB是OA逆时针转至OC，再顺时针转至OB所得到
∴∠AOB=0+a-$\frac{π}{3}$=a-$\frac{π}{3}$
∴sin（a-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$
∴cos（$\frac{5π}{6}$-a）
=cos[$\frac{π}{2}$-（a-$\frac{π}{3}$）]
=sin（a-$\frac{π}{3}$）
=-$\frac{4}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查两角差的正弦和余弦，是基础题．