Question

19．如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为$\frac{1}{n}（{n≥2}）$，每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如$\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}，\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}，\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，则第7行第5个数（从左到右）为$\frac{1}{105}$．

Answer 1

分析 根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），归纳可得每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，可得a（5，1）、a（6，1）、a（7，1）的值，进而可得a（7，2）与a（6，2）的值，而又由a（7，3）=a（6，2）-a（7，2），计算可得a（7，3）的值，结合“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得答案．

解答 解：根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），
由于“莱布尼兹调和三角形”中，每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，
则a（5，1）=$\frac{1}{5}$，a（6，1）=$\frac{1}{6}$，a（7，1）=$\frac{1}{7}$，
a（7，2）=a（6，1）-a（7，1）=$\frac{1}{42}$，a（6，2）=a（5，1）-a（6，1）=$\frac{1}{30}$，
a（7，3）=a（6，2）-a（7，2）=$\frac{1}{30}$-$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{105}$，
根据“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得a（7，5）=a（7，3）=$\frac{1}{105}$；
故答案为：$\frac{1}{105}$．

点评 本题考查归纳推理，是一个数列问题，解题的关键是归纳出每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和．