已知F1为圆(x+1)2+y2=16的圆心.N为圆F1上一动点.且F2(1.0).点M.P分别是线段F1N.F2N上的点.满足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{{F} {2}N}$=0.$\overrightarrow{{F} {2}N}$=2$\overrightarrow{{F} {2}P}$．(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程,(Ⅱ)过点F2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

已知F₁为圆（x+1）²+y²=16的圆心，N为圆F₁上一动点，且F₂（1，0），点M，P分别是线段F₁N，F₂N上的点，满足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}P}$．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l（与x轴不重合）与轨迹E交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交轨迹E于B点（O为坐标原点），求四边形OABC的面积S的最小值．

分析（Ⅰ）确定动点M的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，即可求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线AC的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，表示出四边形OABC的面积，即可求出四边形OABC的面积S的最小值．

解答解：（Ⅰ）由题意，MP垂直平分F₂N，
∴|MF₁|+|MF₂|=4
所以动点M的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）
且长轴长为2a=4，焦距2c=2，所以a=2，c=1，b²=3，
曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），G（x₀，y₀）．
设直线AC的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
由弦长公式可得|AC|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
又y₀=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，
∴G（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$），
直线OG的方程为y=-$\frac{3m}{4}$x，代入椭圆方程得x²=$\frac{16}{4+3{m}^{2}}$，
∴B（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$），
B到直线AC的距离d₁=$\frac{\sqrt{4+3{m}^{2}}-1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
O到直线AC的距离d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）=6$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{3（4+3{m}^{2}）}}$≥3，当m=0时取得最小值3．

点评本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查面积的计算，属于中档题．

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