Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且所有棱长都相等．平面A₁BC₁∩平面ABC=l，则直线l与AB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，直线l与AB₁所成角即为∠B₁AC．利用余弦定理，可得结论．

解答 解：如图所示，直线l与AB₁所成角即为∠B₁AC．
设三棱柱的棱长为a，B₁A=B₁C=$\sqrt{2}$a，AC=a，
∴cos∠B₁AC=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直线l与AB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线l与AB₁所成角，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．