Question

15．已知函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明：函数f（x）在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

分析 根据题意，设-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．由函数在（0，+∞）上的单调性可得f（-x₂）＞f（-x₁），结合偶函数的性质可得f（x₁）＜f（x₂）；由函数单调性的定义即可得证明．

解答 证明：设-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．
由于偶函数在（0，+∞）上是减函数，故有：f（-x₂）＞f（-x₁）
又根据偶函数的性质可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
综上可得：f（x₁）＜f（x₂）；
故f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合问题，涉及函数单调性的证明，关键是运用偶函数的性质进行转化．