Question

5．已知定义在R上的函数f（x）=|x+a|+|x|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简f（x）=|x+1|+|x|．通关当x≥1，当0＜x＜1，当x≤0，分别求解不等式的解集即可．（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，则f（x）在R上最小值应小于2．利用绝对值的几何意义，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x|．
当x≥1，得f（x）=2x-1，由f（x）≥2得x≥$\frac{3}{2}$，此时x$≥\frac{3}{2}$；
当0＜x＜1，得f（x）=1，此时显然f（x）≥2无解；
当x≤0，得f（x）=1-2x，由f（x）≥2得x$≤-\frac{1}{2}$，此时x$≤-\frac{1}{2}$．
综上，不等式f（x）≥2的解集为：$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＜2恒成立，则f（x）在R上最小值应小于2．
由绝对值不等式得|x-a|+|x|≥|x-a-x|=|a|，则|a|＜2，解得-2＜a＜2，
从而a的取值范围为：（-2，2）．

点评 本题考查函数恒成立条件的应用，绝对值不等式的解法，几何意义的应用，考查计算能力．