Question

6．如图在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E为PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD； 
（2）求点E到平面PBC的距离；
（3）求二面角A-EB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，AC相交于点 O，连结EO，由题可知O为AC的中点，又E为PA的中点，由三角形中位线定理可得OE∥PC，得到OE⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面EBD⊥平面ABCD；
（2）由已知结合等积法求得A到平面PBC的距离为$\sqrt{3}$，再由E为PA的中点，可得E点到平面PBC的距离；
（3）过点O作OF垂直BE于F点，连结OF，AF，由线面垂直的判定可得AO⊥平面BDE，BE⊥平面AOF，得到二面角A-EB-D的平面角为∠AFO，求解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：连结BD，AC相交于点 O，连结EO，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点，
又∵E为PA的中点，∴OE∥PC，
由PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD；
（2）解：V_A-PBC=V_P-ABC，
由ABCD是菱形，且边长为2，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，
得${S}_{△ABC}=\sqrt{3}$，S_△PBC=2，可得A到平面PBC的距离为$\sqrt{3}$，
∵E为PA的中点，∴E点到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）解：过点O作OF垂直BE于F点，连结OF，AF，
由AO⊥BD，AO⊥OE，BD∩OE=O，∴AO⊥平面BDE，
AO⊥BE，OF⊥BE，AO∩OF=O，BE⊥平面AOF．
∴二面角A-EB-D的平面角为∠AFO，
在直角△AFO中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，考查二面角的平面角的求法，是中档题．