Question

1．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，a₃+a₉=24，S₅=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+2}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是等差数列，设其首项是a₁，公差是d，由题意a₃+a₉=2a₆=24，a₆=12，${S_5}=\frac{{5（{a_1}+{a_5}）}}{2}=30，{a_1}+{a_5}=2{a_3}=12，{a_3}=6$，
解得a₁=2，d=2，a_n=2n．…（5分）
（2）因为a_n=2n，a_n+2=2（n+2），
$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+2}}}}=\frac{1}{2n•2（n+2）}=\frac{1}{8}•（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\begin{array}{l}{T_n}=\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）\\=\frac{1}{8}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）\end{array}$
=$\frac{n（3n+5）}{16（n+1）（n+2）}$…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．