Question

7．如图，正方形ABCD和直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，AD=DE=2$\sqrt{2}$，EF∥BD，BD=2EF，DE⊥BD．
（Ⅰ）求证：OE∥平面BFC；
（Ⅱ）求二面角A-CF-B正弦值的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出四边形BOEF是平行四边形，从而OE∥BF，由此能证明OE∥平面BFC．
（Ⅱ）推导出DE⊥BD，以D为原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CF-B正弦值的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵EF∥BD，BD=2EF，O为正方形ABCD的中点，
∴EF∥OB，EF=OB，
∴四边形BOEF是平行四边形，∴OE∥BF，
∵BF?平面BFC，OE?平面BFC，
∴OE∥平面BFC．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，
DE⊥BD，
∴DE⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知DE=OF，DE∥OF，
以D为原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），C（0，2$\sqrt{2}$，0），F（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，2\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，2\sqrt{2}$），
设平面ACF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=x-y=0}\\{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
同理得到平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角A-CF-B正弦值的大小为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定、性质得灵活应用，考查二面角概念及其正弦值的求法，化归与转化的思想的应用，考查逻辑推理、运算、空间想象能力．属中档题．