Question

19．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=1，AD=CD=2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB、MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{4}{9}π$
• D． $\frac{8}{3}$π

Answer 1

分析 建立空间直角坐标，求得B，C和M点坐标，由题意可知2丨MB丨=丨MC丨，利用空间中两点之间的距离公式，即可求得M的轨迹方程，即可求得点M的轨迹长度．

解答 解：由题意可知，以D为原点，分别以DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，1，0），C（0，2，0），M（x，0，z），
由直线MB，MC与平面ADEF所成的角，∠AMB，∠DMC，均为锐角，
∴sin∠AMB=sin∠DMC，即$\frac{丨AB丨}{丨MB丨}$=$\frac{丨CD丨}{丨MC丨}$，即2丨MB丨=丨MC丨，
则2$\sqrt{（2-x）^{2}+{1}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}+{z}^{2}}$，整理得：（x-$\frac{8}{3}$）²+z²=$\frac{16}{9}$，
由此可得：M在正方形ADEF内的轨迹是以点O（$\frac{8}{3}$，0，0）为圆心，以$\frac{4}{3}$为半径的圆弧M₁M₂，
则圆心角∠M₁OM₂=$\frac{π}{3}$，
则圆弧M₁M₂弧长l，l=$\frac{π}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{4π}{9}$，
故选C．

点评 本题考查空间向量的坐标表示，考查空间中两点之间的距离公式，轨迹方程的求法，考查数形结合思想，属于中档题．