Question

13．设命题p：函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的值域为R；命题q：函数y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象与函数y=ax-2的图象恰有两个交点；如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 考虑p真，讨论a=1与当a²-1＞0时△≥0，解不等式求并集；q真时，讨论x＞1，x=0和0＜x＜1，x＜0函数图象的关系和转化为方程，求得a的范围，再由题意可得p，q中一真一假，解不等式即可到所求范围．

解答 解：命题p：函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的值域为R，
p真时①当a=1时f（x）=lg（2x+1）值域为R，符合．
②当a²-1＞0时△≥0，即（a+1）²-4（a²-1）≥0，
解得1≤a≤$\frac{5}{3}$，
命题q：函数y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象与函数y=ax-2的图象恰有两个交点，
q真时，x＞1时，y=x+1与函数y=ax-2的图象有一个交点，
可得a=1+$\frac{3}{x}$＜4，即有0＜a＜4且a≠1；
x=0时函数y=-1，不成立，
当0＜x＜1时，y=-x-1与函数y=ax-2的图象有一个交点，
可得a=-1+$\frac{1}{x}$，即有a＞0；
当x＜0时，y=-x-1与函数y=ax-2的图象有一个交点，
可得a=-1+$\frac{1}{x}$，即有a＜-1．
则q真时，0＜a＜1或1＜a＜4．
依命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
可得p，q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤\frac{5}{3}}\\{a≥4或a≤0或a=1}\end{array}\right.$，
得a=1；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{3}或a＜1}\\{0＜a＜1或1＜a＜4}\end{array}\right.$，
得0＜a＜1或$\frac{5}{3}$＜a＜4
综上0＜a≤1或$\frac{5}{3}$＜a＜4．

点评 本题考查命题的真假判断，考查函数的值域为R的问题解法，注意分类讨论和结合二次函数的图象，考查函数图象的交点问题解法，注意运用分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．