Question

1．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试判断B的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-mf（x）在[1，+∞）最小值为$\frac{5}{4}$，试求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0求k的值；
（2）若f（1）＜0，0＜a＜1，即可判断B的单调性，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立化为x²+（t-1）x+4＞0恒成立，即可求出t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，则a-a^-1=$\frac{3}{2}$，a=2g（x）=2^2x+2^-2x-m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2，换元，分类讨论，利用g（x）=a^2x+a^-2x-mf（x）在[1，+∞）最小值为$\frac{5}{4}$，试求m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，…（2分）
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
∵f（1）＜0，∴a-$\frac{1}{a}$＜0，
∵a＞0且a≠1，
∴0＜a＜1             …（5分）
∴a^x单减，a^-x单增，故f（x）在R上单减，
故不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立化为x²+（t-1）x+4＞0恒成立
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5…（9分）
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，则a-a^-1=$\frac{3}{2}$，∴a=2
g（x）=2^2x+2^-2x-m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2
令t=2^x-2^-x∵t=2^x-2^-x在[1，+∞）上为递增的∴$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$
∴设$h（t）={t^2}-mt+2={（t-\frac{m}{2}）^2}-\frac{m^2}{4}+2$，$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$…（12分）
①当m≤3时，$h{（t）_{min}}=h（\frac{3}{2}）=\frac{5}{4}$得m=2
②当m＞3时，$h{（t）_{min}}=h（\frac{m}{2}）=\frac{5}{4}$得$m=±\sqrt{3}$（舍）
综上m=2…（16分）

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．